131.韩信点兵
汉高祖刘邦曾问大将韩信：“你看我能带多少兵？”韩信斜了刘邦一眼说：“你顶多能带十万兵吧！”汉高祖心中有三分不悦，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韩信傲气十足地说：“我呀，当然是多多益善啰！”刘邦心中又添了三分不高兴，勉强说：“将军如此大才，我很佩服。现在，我有一个小小的问题向将军请教，凭将军的大才，答起来一定不费吹灰之力的。”韩信满不在乎地说：“可以可以。”刘邦狡黠地一笑，传令叫来一小队士兵隔墙站队，刘邦发令：“每三人站成一排。”队站好后，小队长进来报告：“最后一排只有二人。”“刘邦又传令：“每五人站成一排。”小队长报告：“最后一排只有三人。”刘邦再传令：“每七人站成一排。”小队长报告：“最后一排只有二人。”刘邦转脸问韩信：“敢问将军，这队士兵有多少人？”韩信脱口而出：“二十三人。”刘邦大惊，心中的不快已增至十分，心想：“此人本事太大，我得想法找个岔子把他杀掉，免生后患。”一面则佯装笑脸夸了几句，并问：“你是怎样算的？”韩信说：“臣幼得黄石公传授《孙子算经》，这孙子乃鬼谷子的弟子，算经中载有此题之算法，口诀是：
三人同行七十稀，
五树梅花开一枝，
七子团圆正月半，
除百零五便得知。”
刘邦出的这道题，可用现代语言这样表述：
“一个正整数，被3除时余2，被5除时余3，被7除时余2，如果这数不超过100，求这个数。”
《孙子算经》中给出这类问题的解法：“三三数之剩二，则置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五，一百六以上，以一百五减之，即得。”用现代语言说明这个解法就是：
首先找出能被5与7整除而被3除余1的数70，被3与7整除而被5除余1的数21，被3与5整除而被7除余1的数15。
所求数被3除余2，则取数70×2＝140，140是被5与7整除而被3除余2的数。
所求数被5除余3，则取数21×3＝63，63是被3与7整除而被5除余3的数。
所求数被7除余2，则取数15×2=30，30是被3与5整除而被7除余2的数。
又，140＋63＋30=233，由于63与30都能被3整除，故233与140这两数被3除的余数相同，都是余2，同理233与63这两数被5除的余数相同，都是3，233与30被7除的余数相同，都是2。所以233是满足题目要求的一个数。
而3、5、7的最小公倍数是105，故233加减105的整数倍后被3、5、7除的余数不会变，从而所得的数都能满足题目的要求。由于所求仅是一小队士兵的人数，这意味着人数不超过100，所以用233减去105的2倍得23即是所求。
这个算法在我国有许多名称，如“韩信点兵”，“鬼谷算”，“隔墙算”，“剪管术”，“神奇妙算”等等，题目与解法都载于我国古代重要的数学着作《孙子算经》中。一般认为这是三国或晋时的着作，比刘邦生活的年代要晚近五百年，算法口诀诗则载于明朝程大位的《算法统宗》，诗中数字隐含的口诀前面已经解释了。宋朝的数学家秦九韶把这个问题推广，并把解法称之为“大衍求一术”，这个解法传到西方后，被称为“孙子定理”或“中国剩余定理”。而韩信，则终于被刘邦的妻子吕后诛杀于未央宫。
请你试一试，用刚才的方法解下面这题：
一个数在200与400之间，它被3除余2，被7除余3，被8除余5，求该数。
（解：112×2＋120×3＋105×5＋168k，取k＝-5得该数为269。）
什么叫做“韩信点兵”？
韩信点兵是一个有趣的猜数游戏。如果你随便拿一把蚕豆（数目约在100粒左右），先3粒3粒地数，直到不满3粒时，把余数记下来；第二次再5粒5粒地数，最后把余数记下来；第三次是7粒一数，把余数记下来。然后根据每次的余数，就可以知道你原来拿了多少粒蚕豆了。不信的话，你还可以实地试验一下。例如，假如3粒一数余1粒，5粒一数余2粒，7粒一数余2粒，那么，原有蚕豆有多少粒呢？
这类题目看起来是很难计算的，可是我国有时候却流传着一种算法，综的名称也很多，宋朝周密叫它“鬼谷算”，又名“隔墙算”；杨辉叫它“剪管术”；而比较通行的名称是“韩信点兵”。最初记述这类算法的是一本名叫《孙子算经》的书，后来在宋朝经过数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”。这在数学史上是极有名的问题，外国人一般把它称为“中国剩余定理”。至于它的算法，在《孙子算经》上就已经有了说明，而且后来还流传着这么一道歌诀：
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，
除百零五便得知。
这就是韩信点兵的计算方法，它的意思是：凡是用3个一数剩下的余数，将它用70去乘（因为70是5与7的倍数，而又是以3去除余1的数）；5个一数剩下的余数，将它用21去乘（因为21是3与7的倍数，又是以5去除余1的数）；7个一数剩下的余数，将它用15去乘（因为15是3与5的倍数，又是以7去除余1的数），将这些数加起来，若超过105，就减掉105，如果剩下来的数目还是比105大，就再减去105，直到得数比105小为止。这样，所得的数就是原来的数了。根据这个道理，你可以很容易地把前面的五个题目列成算式：
1×70＋2×21＋2×15－105
＝142－105
＝37
因此，你可以知道，原来这一堆蚕豆有37粒。
1900年，德国大数学家大卫·希尔伯特归纳了当时世界上尚未解决的最困难的23个难题。后来，其中的第十问题在70年代被解决了，这是近代数学的五个重大成就。据证明人说，在解决问题的过程中，他是受到了“中国剩余定理”的启发的。
132.大1和小1
很久很久以前的一天，天空突然一片漆黑，乌云滚滚，雷声大作，闪电不断。
“哗哗——”一场大雨从天而降，一条条笔直笔直的雨水落下来，不知什么时候，一条条直直的雨水变成了一个个欢蹦乱跳的1字。
小1们笑着、跳着、跑着，你看看我，我看看你，都是笔直笔直的、细细条条的，身体苗条极了。
“哈哈，你是1！”
“我是1！”
“我们都是1！”
他们说着、跑着，相互手拉着手。
突然，两个手拉手的小1变成了“2”，3个手拉手的小1变成了“3”，4个手拉手的小1变成了“4”……1字的队伍真长啊！
太壮观啦！数不清的1，数不清的数字，倾刻间，这里变成了数字的海洋。
“轰隆隆——”一阵巨响，一个大雷迎面劈来，一个巨大的声音在空中响起。只见一个小1字站在数字中央，高声地说：“1字兄弟们，我们今天大聚会，大家`知道，世界上的数都是从我们1开始的，一个个1合起来，就变成了成千上万的数。我们大家要记住，从1开始，1、2、3、4……可以无限地排列下去，形成一个有头无尾的数字大军。大家尽情地唱吧、跳吧！”数字海洋一片欢腾。
“呜——”一阵狂风吹来，不好了！大风一下子把许许多多的数字卷走了。
“不好了！我们快躲开！”小1大声呼喊。
可是，已经来不及了，小1被大风卷到了天上。
小1字被大风卷上了天。他在空中翻了无数个跟头，头昏眼花，完全推动了知觉，摇摇晃晃从空中直往下落，危险！眼看小1字要摔下地了，说时迟，那时快，远处忽然飘来一朵白云，轻轻托住了小1字。
小1字躺在白云的怀抱里，慢慢苏醒过来，他睁开眼睛向下看：“这是什么地方？”
白云边往下落，边轻声地说：“这是一座美丽的数字城。”
“啊，数字城，真漂亮！”
放眼一看，只见：
“1”字大厦笔直的、高高插入云霄，那是数字城最高的大楼；
“2”字宫殿像一只小鸭子浮在水面上；
“3”字商场仿佛是只招风的大耳朵，倾听着最美妙的音乐；
“4”字大楼一幢接一幢，好似五彩缤纷的旗帜迎风招展；
“5”字写字楼住的都是商人，设计师把它巧妙地设计成“秤钩”形状；
住着体育裁判的“6”字体育馆被设计成“哨子”的样子；
那像把“镰刀”的建筑“7”是为搬进城市的家书伯伯们盖的；
“8”字楼建筑得像个宝葫芦，是为最有学问的老师和科学家们设计的；
那高高大大像个捉飞蛾大网兜的是“9”字建筑，是有名的五星级大饭店。
啊！数字城这么迷人，小1字简直看呆了。
这时，从“1”字大厦里走出来许多“1”字，他们排成长队，手拉手，唱着数字歌。
1字像个小棒头，2像小鸭水中游；
3像一只大耳朵，4像小旗迎风飘；
5字像个小秤钩，6字像只小口哨；
7像镰刀握在手，8字像个宝葫芦；
9像一只小网兜，数字城里学问多。
小1字听着听着，突然，猛的一下子站立起来。
不好！白云一不留神，让小1字笔直地掉下来……
小1字一直往下掉，掉呀，掉呀。
噢，小1字居然落在了一棵大白菜的身上，白菜姐姐用两片大叶子把小1字抱进怀里。
小1字慢慢地睁开眼，看到四周全是种的白菜：“哈，真新鲜，这个菜园多像一个大棋盘！”他再仔细一看，哇，棋盘的每个格子里白菜的数目还不一样呢。你瞧：
白菜姐姐热心地说：“这是我们数字迷宫菜园，你愿意进去看看吗？在那里，你会见到你的许多数字兄弟！”
“好！我马上就去！”小1字急着就要出发。
“你别着急呀，这个数字迷宫里的谜很多，你一定要按从‘1’到‘10’的顺序走，才能顺利地走出去。走的时候，只能横着或竖着走，不能斜着走，否则就会掉到陷阱里！”白菜姐姐耐心地解释着。
小1字高兴地说：“我会的。”说完就去找“1”字白菜。正巧，他的旁边就是2个“2”字白菜，可是，是横着向右走呢，还是竖着向下走呢？小1字犹豫了，不知如何是好。
白菜姐姐指点他：“你不要急着走，要先观察一下，找好通道再行动。”
小1字听了，就认真地观察起来。他先找了一条通道：从“1”向下走到“2”，再向下到“3”，向右到“4”，向下到“5”，向左到“6”，不好，到了“6”，下面是“8”，这是陷阱，不能走！
于是，小1字只好再观察第二条线路：从“1”向右到“2”、“3”、“4”，向下到“5”，再向下到“6”，咦，不好，“6”的左边和下边都有“7”，向左还是向下呢？如果向左到了“7”以后，“7”的周围没有“8”，又不行了；如果向下呢，到“7”以后，再向右到“8”，“8”向下到“9”，“9”向下到“10”。哈哈，找对了！小1字开心极了，他顺着这条通道走出了数字迷宫菜园。
“不许动！”一个黑影拦住了小1字的去路。发生了什么事情？
小1字抬头一看，站在面前的是两个高高大大的“1”字，他们不由分说，一左一右把小1字的眼睛用黑布蒙上，押上了一辆大汽车。
“呜——”汽车开了好久好久，小1字被带进一个很大的院子。
取下黑布，小1字睁开眼，揉了揉眼睛，看了看四周。啊，这么多的数字啊，整个院子都挤满了。
